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专题31 三角形与新定义综合问题
典例剖析
【例1】(2022•淮安区模拟)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
(1)can30°＝ ，若canB＝1，则∠B＝ °．
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．
【例2】(2022•柯城区校级三模)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．
【概念感知】
判断：对的打“√”，错的打“×”．
(1)等腰直角三角形是标准三角形．
(2)顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．
【概念理解】
若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 ．
【概念应用】
(1)如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．
(2)若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．
【例3】(2020•五华区校级三模)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例探究】
(1)如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝ ，b＝ ；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a2+b2＝ ；
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
(3)如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．
【例4】(2020•岳麓区校级二模)定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．
(1)如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；
(2)如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD
于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．
①求证：△ABC是中垂三角形；
②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．
【例5】(2020•安徽模拟)通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图(1)在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
(1)can30°＝ ；
(2)如图(2)，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．
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