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专题30 代数中的新定义问题（解析版）
典例剖析
【例1】(2022•重庆)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷(2+1+4)＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F(A)，最小的两位数记为G(A)，若为整数，求出满足条件的所有数A．
【例2】(2022秋•西城区校级期中)将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝(t1，t2，…tn)，其中，t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组(n≥2且n为整数)．
例如：(0，1)，(1，1)都是2元完美数组，(0，0，1，1)，(1，0，0，1)都是4元完美数组，但(3，2)不是任何完美数组．定义以下两个新运算：
新运算1：对于x和y，x*y＝(x+y)﹣|x﹣y|，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝(x1，x2，…，xn)和N＝(y1，y2，…，yn)，M⊗N(x1*y1+x2*y2+…+xn*yn)，例如：对于3元完美数组M＝(1，1，1)和N＝(0，0，1)，有M⊗N(0+0+2)＝1．
(1)在(0，0，0)，(2，0，1)，(1，1，1，1)，(1，1，0)中是3元完美数组的有： ；
(2)设A＝(1，0，1)，B＝(1，1，1)，则A⊗B＝ ；
(3)已知完美数组M＝(1，1，1，0)求出所有4元完美数组N，使得M⊗N＝2；
(4)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊗D＝0；则m的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
【例3】(2022秋•茅箭区校级月考)对x，y定义一种新运算T，规定T(x，y)(其中a，b是非零常数，且x+y≠0)，这里等式右边是通常的四则运算．如：T(3，1)，T(m，﹣2)．
(1)填空：T(4，﹣1)＝ (用含a，b的代数式表示)；
(2)若T(﹣2，0)＝﹣2，且T(5，﹣1)＝6．①求a与b的值；
②若T(3m﹣10，﹣3m)＝T(﹣3m，3m﹣10)，求m的值．
【例4】(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点(1，1)，(，)，(，)，……都是和谐点．
(1)判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数y＝ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(，)．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c(a≠0)的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【例5】(2022•南通)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点(，)是函数y＝x图象的“阶方点”；点(2，1)是函数y图象的“2阶方点”．
(1)在①(﹣2，)；②(﹣1，﹣1)；③(1，1)三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 (填序号)；
(2)若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y＝﹣(x﹣n)2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
满分训练
1．(2022•渝中区校级模拟)材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；
材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m可以被9整除，且m的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m为“够二数”；将m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为m'，，例如：m＝8424，∵8+4+2+4＝18＝9×2，4﹣2＝2，∴8424是“够二数”，．
(1)判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算F(m)的值；
(2)若一个四位正整数是“够二数”，且为5的倍数，请求出所有的“够二数”n的值．
2．(2022•九龙坡区校级模拟)对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如：
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