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专题29 圆与相似及三角函数综合问题
典例剖析
【例1】(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．
(1)如图1，若，且，求证：平分；
(2)如图2，连接，若，求证：．
【例2】(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯 的中点为
(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．
(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．
【例3】(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，若，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．
【例4】(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点(不与A，M重合)，射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点C运动过程中，当时，求的值．
满分训练
1．(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．
(1)求证：平分；
(2)若，，求线段的长．
2．(2022·湖北黄石·中考真题)如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的值；
(3)在(2)的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
3．(2022·湖北襄阳·中考真题)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
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