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专题25 以四边形为载体的几何综合问题
典例剖析
【例1】(2022·贵州黔西·中考真题)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点(点E不与点B，C重合)，且．
(1)当时，求证：；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【例2】(2022·辽宁丹东·中考真题)已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点(点E不与点B重合)，连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG(A，E，F，G按逆时针方向排列)，连接DG．
(1)如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
(2)如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．
【例3】(2022·湖南益阳·中考真题)如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点(不与点C重合)，作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
(1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
(2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
(3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
【例4】(2022·四川绵阳·中考真题)如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．
【例5】(2022·上海·中考真题)平行四边形，若为中点，交于点，连接．
(1)若，
①证明为菱形；
②若，，求的长．
(2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．
满分训练
1．(2022·山西实验中学模拟预测)综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：
如图，在正方形中，是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形，使得，，且点恰好在射线上．
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