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垂径定理-重难点题型
【知识点1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 垂径定理（连半径）】
【例1】（海门市期中）如图，以c为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式1-1】（淄川区一模）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
【变式1-2】（衢州期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：
（1）CD的弦心距OF的长；
（2）弦CD的长．
【变式1-3】（蜀山区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面积．
【题型2 垂径定理（作垂线）】
【例2】（江干区月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，则CD的长为（ ）
A． B．6 C．2 D．12
【变式2-1】（东胜区一模）如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-2】（泰兴市模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
【变式2-3】（渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【题型3 垂径定理（分类讨论）】
【例3】（江夏区校级期末）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（ ）
A．6 B．2
C．6或2 D．以上说法都不对
【变式3-1】（松桃县模拟）已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（ ）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
【变式3-2】（鼓楼区校级月考）若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB＝10，CD＝24，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．7 B．17 C．5或12 D．7或17
【变式3-3】（滨江区期末）在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（ ）
A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm
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