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一元二次方程根与系数的关系-八大题型
【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】
如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】
【例1】（江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则的值是 ．
【变式1-1】（密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【变式1-2】（汉川市模拟）已知实数a、b满足|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1-3】（琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5
【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】
【例2】（乳山市模拟）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x12﹣3x1+x22＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（牟平区一模）已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x121的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021
【变式2-2】（东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2020 D．2022
【变式2-3】（海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 ．
【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】
【例3】（呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【变式3-1】（硚口区模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【变式3-2】（松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【变式3-3】（汉阳区校级月考）已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n24的值是（ ）
A．57 B．58 C．59 D．60
【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】
【例4】（毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
【变式4-1】（黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1
【变式4-2】（仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【变式4-3】（内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】
【例5】（鄞州区模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（ ）
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