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一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）
【题型1 利用根与系数的关系降次求值】
【例1】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．2021 C． D．2023
【变式1-1】（2023春·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知是方程的一个根，则 ．
【变式1-3】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】
【例2】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)
【变式2-1】（2023春·上海·九年级期中）解方程：
【变式2-2】（2023春·内蒙古通辽·九年级统考期末）阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得
，
解得，，．
问题解决：
（1）解方程：．
（2）解方程：．
（3）方程的解为 ．
【变式2-3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【题型3 利用一元二次方程求最值】
【例3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）设实数满足，则的最大值为 .
【变式3-1】（2023春·四川泸州·九年级校考期末）已知实数x，y满足，则x+y的最大值为 ．
【变式3-2】（2023·浙江金华·九年级期中）当 ， 时，多项式有最小值，这个最小值是 ．
【变式3-3】（2023春·山东济南·九年级阶段练习）阅读下面材料：
丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式.
她还发现像，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用表示.例如：.于是丽丽把称为基本神奇对称式 .
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式① ， ② ， ③， ④ xy + yz + zx中，属于神奇对称式的是__________（填序号）；
（2）已知.
① q=__________（用含m，n的代数式表示）；
② 若，则神奇对称式=__________；
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